電工王師傅

本頁面測試 MathJax 書寫 LaTeX 公式。

測試結論

簡單測試,發覺此方法並不能全面滿足公式輸入,還是乖乖回到 LaTeX Book 或 Beamer 本身。電工王師傅畢竟只是電工而已,有高級職稱也沒啥用呢,各人幹各人擅長之事吧。

定積分的定義

……從上面所舉的這些例子來考察,儘管問題來自不同的領域,但解決它們的方法卻完全一樣,卽歸結到計算一個特殊構造的極限

$$\lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i})(x_{i}-x_{i-1})~~~~(\xi_{i} \in [x_{i-1},x_{i}])$$

以後我們還會看到,不僅求曲邊梯形的面積、變力所做的功、變速運動的路程等問題,都可歸結到這樣一個極限,還有很廣泛的一類實際問題的求解最後也歸結到計算這樣一個極限。爲此,有必要將它們的共同特點抽象出來,闡明概念,進行深入的討論。

設 $f(x)$ 是定義在區間 $[a,b]$ 上的連續函數,以 $T$ 表示用點 $a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{n-1} < x_{n} = b$ 來分區間 $[a,b]$ 的任意一種分法,對於這個分法,作和數

\begin{equation}
\sigma = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \varDelta x_{i},
\label{equ:suminte6}
\end{equation}

其中 $\varDelta x_{i} = x_{i}-x_{i-1},$ 而 $\xi_{i} \in [x_{i-1},x_{i}],$ 稱和數 $\sigma$ 爲函數 $f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上的積分和。

顯然,這個和數既與分法 $T$ 有關,又與 $\xi_{i}$ 的取法有關。但如果我們把小區間 $[x_{i-1},x_{i}] (i=1, 2, \cdots, n)$ 中最大一個的長度記作 $\lambda(T)$,卽令 $\lambda(T) = \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} \varDelta x_{i},$ 那麼,當 $\lambda(T) \to 0$ 時,如果這些不同的和,都會趨向同一極限值 $I$,這個值 $I$ 就稱爲函數 $f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上的定積分(definite integral),記作

$$I=\int_{b}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x.$$

「$\int$」稱爲積分號,表示「和」的意思,$f(x)\,\mathrm{d}x$ 則相應於 $f(\xi_{i})\varDelta x_{i},$ 稱爲被積表達式(Integrand),積分號下的函數 $f(x)$ 稱爲被積函數(Integrand),$x$ 稱爲積分變量,$a$ 與 $b$ 分別稱爲積分的下限與上限。

但是在什麼情況下,定積分是存在的?卽定積分的存在性定理,這將在第 9 章 9.3 節中進行仔細的討論。

從定積分的定義可以看出:定積分所涉及的是函數 $f(x)$ 在整個積分區間 $[a,b]$ 上的整體性質,卽定積分的值與函數 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 中的每一段都有關。

從定積分的定義還可以看出:函數 $f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上的定積分的數值,只與函數 $f(x)$ 本身及區間 $[a,b]$ 有關,而與積分變量的符號無關,卽

$$\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f(t)\,\mathrm{d}t=\int_{a}^{b}f(\xi)\,\mathrm{d}\xi=\cdots.$$

有了定積分的定義之後,我們知道在 \ref{ssc:area} 節中所計算的是:

$$(1) \int_{0}^{a} x^2\,\mathrm{d}x=\dfrac{a^3}{3};$$
$$(2) \int_{a}^{b}x^2\,\mathrm{d}x=\dfrac{b^3-a^3}{3};$$
$$(3) \int_{a}^{b}x^4\,\mathrm{d}x=\dfrac{b^5-a^5}{5};$$
$$(4) \int_{a}^{b}x^m\,\mathrm{d}x=\dfrac{b^{m+1}-a^{m+1}}{m+1}.(m \in \mathbb{Z}, m \neq -1)$$

此外,求曲線 $y = f(x)$ 及直線 $x = a, x = b, y = 0$ 所圍成的曲邊梯形的面積就成爲求定積分 $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x;$ 求變速直線運動從時間 $t_{0}$ 到 $T$ 的位移就成爲求定積分 $\int_{t_{0}}^{T}v(t)\,\mathrm{d}t,$ 這裏 $v(t)$ 爲變速;求變力作用下的直線運動從始點 $s_{0}$ 到 $s$ 所做的功,就成爲求定積分 $\int_{s_{0}}^{s}F(s)\,\mathrm{d}s,$ 這裏 $F(s)$ 爲變力。

在定義定積分 $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$ 的時候,規定 $a < b,$ 至於 $a \geqslant b$ 時表示什麼意義還沒有明確指出,現在我們規定

$$\int_{b}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$$

$$\int_{a}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x=0$$

從定積分的定義立刻得到以下的性質:

$1^{\circ}$ $$\int_{a}^{b}(f(x) \pm g(x))\,\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \pm \int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x$$

$2^{\circ}$ $c$ 爲任意常數, $$\int_{a}^{b}cf(x)\,\mathrm{d}x=c\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$$

$3^{\circ}$ 不論 $a,b,c$ 三點的相互位置如何,恆有 $$\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{c}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$$

$4^{\circ}$ 若在 $[a,b]$ 上恆有 $f(x) \leqslant g(x)$,則 $$\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant \int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x$$

特別,若在 $[a,b]$ 上,$m \leqslant f(x) \leqslant M,$ 則 $$m(b-a) \leqslant \int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant M(b-a).$$ 1~4 都是顯然的,不加以證明了。

$5^{\circ}$ $$\bigg| \int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \bigg| \leqslant \int_{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm{d}x$$ 事實上,由不等式 $-|f(x)|\leqslant f(x) \leqslant |f(x)|$,得到 $$-\int_{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm{d}x \leqslant \int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant\int_{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm{d}x$$

此即 $| \int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x | \leqslant \int_{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm{d}x.$ 這個性質和不等式 $|a+b|\leqslant |a|+|b|$ 相當,也可以從定積分定義直接證明。

積分中值定理

$6^{\circ}$ 對區間 $[a,b]$ 上的任一連續函數 $f(x)$,在 $[a,b]$ 上一定有一點 $\xi$ 使得 $$\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a).$$

事實上,若 $m,M$ 分別爲 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值和最大值,則 $m \leqslant f(x) \leqslant M (x \in [a,b])$ 由性質 4 得 $m(b-a) \leqslant \int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant M(b-a),$ 即

$$m \leqslant \dfrac{\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x}{b-a} \leqslant M$$

記 $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x = \mu,$ 則 $m \leqslant \mu \leqslant M,$ 由於 $f(x)$ 是閉區間 $[a,b]$ 上的連續函數,而 $m,M$ 分別爲 $f(x)$ 在這區間上的最小值和最大值,故根據連續函數的性質,在區間 $[a,b]$ 上一定有一點 $\xi,$ 使得 $f(\xi) = \mu,$ 卽

$$\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x = f(\xi),$$

亦卽

$$\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x = f(\xi)(b-a).$$

這叫做積分中值定理(The Mean Value Theorem for Integrals),它有明顯的幾何意義:對於任意的曲邊梯形來說,總存在一個以 $b-a$ 爲底,以曲邊上一點 $\xi$ 的縱座標 $f(\xi)$ 爲高的矩形,其面積就等於曲邊梯形的面積。

國音索引
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